建築物の「梁」は外力が加わるとたわみます。たわむと危険なので、梁にはたわまないだけの強度が必要です。
さて、たわみ量と梁の断面に大きな関係があることをご存じでしょうか。
例えば、断面が同じ長方形の梁でも、縦に置くか横に置くかで強度が異なり、たわみ量が異なるのです
これは梁の「断面二次モーメント」が違うために起こる現象です。
この記事では断面二次モーメントの公式について解説し、なぜ梁のたわみ量が違うかを解説します。
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目次
断面二次モーメントとは
冒頭に挙げたように、梁には強度が必要なのですが、強度を考える時には「座屈に対する強度」と「たわみに対する強度」の両方を考えなければいけません。
断面二次モーメントは、この内のたわみに対する強度に大きく関係します。
さて、梁にはさまざまな断面形状があります。四角いもの、長方形のもの、丸いもの、角パイプ、丸パイプなどです。
そして、断面形状が違うと断面二次モーメントが異なります。それでは、断面二次モーメントとは何の数値なのでしょうか。
曲げた時にどれだけ変形しにくい形かを表す
断面二次モーメントは「どれだけ変形しにくい形か」を表す数値です。
梁の例を使って説明しましょう。
さて、梁の上に物が載ると曲げる力が発生します。
曲げる力は梁の上面に圧縮、下面に引張の力が加わった状態です。
ところで、その時には梁の内部で曲げようとする力の反対の力が起こります。
つまり、梁断面の上に圧縮に耐える力、下に引張に耐える力が発生するのです。
尚、梁の中心（中立軸と呼びます）から離れているほど耐える力は強いです。
さて、上面の圧縮と下面の引っ張りに耐えるカギとなるのは、中立軸から上端・下端までの「距離」と「面積」です。
中立軸からの距離が離れれば耐える力が強くなり、距離が縮まれば弱くなります。
また、中立軸から離れた部分の断面積が増えても耐える力が強くなり、減れば弱くなるのです。
つまり、「断面の形状によって梁の強度が変わる」ことを示します。断面二次モーメントが変化して、梁の強度に影響するのが原因です。
尚、後述しますが、断面二次モーメントは「中心部から上端・下端までの距離」と「面積（断面の幅や偏心）」を計算に入れることが公式を見れば分かります。これらの数値がどれだけ重要かを物語っていると言えるでしょう。
曲げた梁のたわみ量を計算できる
断面二次モーメントを用いると梁のたわみ量の計算が可能です。
ただ、その前に押さえておかない数値があります。
それは「ヤング率（縦弾性係数）」という数値です。材料を引っ張ったときに「どれだけ伸びるか」の値で、素材によって異なります。
例えば、アルミとスチールでは力を掛けた時の伸び具合が違います。これはヤング率が異なるためです。
では、実際のたわみ量はどのように求められるのでしょうか。
これは、梁の条件によって式そのものが違います。しかし、代表的な公式はあるので、以下にいくつかの例を挙げましょう。
・単純梁の中央集中荷重
δ＝PL^3/48EI
・単純梁の等分布荷重
δ＝5WL^4/384EI
・片持ち梁の先端集中荷重
δ＝PL^3/3EI
・片持ち梁の等分布荷重
δ＝WL^4/8EI
尚、式の中の文字は次の通りです。
δ（デルタ）：たわみ量
Ｌ：梁の長さ
P：集中荷重の場合の力
W：等分布荷重の場合の力
E：ヤング率
I：断面二次モーメント
断面係数との違いはなに？
断面二次モーメントと似た言葉に「断面係数」があります。どちらも梁の断面性能を表す数値です。
しかし、同じ断面性能であっても断面二次モーメントと断面係数は違います。断面二次モーメントは「たわみ」に関係する数値ですが、断面係数とは「座屈」に関係する数値だからです。
例えば、梁に重りを載せた場合、梁は重みでグーっとたわみます。このたわみ量を決めるのは断面二次モーメントです。
そして、梁が重みに耐えられないとボキっと折れます。この折れる荷重を決めるのが断面係数です。
さて、断面係数も断面二次モーメントと同様に梁の断面形状によって異なります。断面が長方形の断面係数と円の断面係数では違うのです。
そのため、部材の強度を計算するためには、各部材の断面係数を算出しておかなければいけません。
尚、断面係数の公式を用いれば、梁の座屈強度の計算が可能です。ただし、座屈強度を計算するためには材料の引張強度の確認が必要です。
また、断面二次モーメントは「I」で表しますが、断面係数は「Z」で表します。
断面二次モーメントの公式と計算方法
断面二次モーメントは断面形状によって異なるのですが、よく使われる部材は断面形状が決まっているので、公式に当てはめることは可能です。
そこで、ここでは「長方形」「円形」「円筒形」の３つの公式を挙げてみましょう。
まず、長方形ですが、断面二次モーメントは次の式で表されます。
長方形 ⇒ I=bh^3/12
I：断面二次モーメント
b：梁の幅
h：梁の高さ
梁の高さが増えるほど断面二次モーメントは増えます。
次に円形の梁です。
円形 ⇒ I=πd^4/64
I：断面二次モーメント
π：円周率
d：円の直径
円の直径の4乗に比例して断面二次モーメントが増えることが分かります。
そして円筒形の梁です。
円筒形 ⇒ I=π(D^4－d^4)/64
I：断面二次モーメント
π：円周率
D：円の外側の直径
d：円の内側の直径
円の内側が無くなるので、円の時よりも断面二次モーメントが減ります。
このように、断面二次モーメントは断面によって計算を変えなければいけないのです。
断面二次モーメント計算式
断面二次モーメントの公式の基本的な計算は次の式です。
I＝面積×距離^2
※ただし、この時の断面積は梁を細分化した時の各部分の断面積です。
例えば、建築でよく使われるH形鋼を考えてみましょう。
H型鋼を下図のように置いて断面積を小さく分けるならば、中立軸からの距離と面積配分が異なります。面積は梁の中立軸に近い方が少なく、上端・下端に行けば大きいです。
さて、断面二次モーメントは、細分化した各部分の面積を、中立軸からの距離を2乗した値を掛けて算出した値です。
断面二次モーメントは距離の2乗に比例します。梁は上下幅を大きくすれば強くなるのですが、その強さは2乗の比例です。縦の幅が大きくなると、非常に強度アップするのが分かる計算と言えるでしょう。
ちなみに、2乗に比例するということは、高さが1.2倍になった場合、全体が1.44倍になることを意味します。
断面二次モーメント公式一覧
部材にはさまざまな形状のものが使われます。正方形や長方形の断面だけでなく、先に挙げたH型鋼や溝型鋼などもあるでしょう。更には、丸棒材やパイプ材など、断面形状の幅は広いです。
また、部材は太さが違います。目的に合わせて使い分けられるのです。
そして、これらの形状によって断面二次モーメントの公式は異なります。
ここでは、代表的な断面二次モーメントの公式を挙げてみましょう。
正方形：
A = a2
e = a/2
I = a4 /12
正方形（斜め45°）
A = a2
e = a / √2
I = a4 /12
長方形
A = bh
e = h / 2
I = bh3 /12
丸
A = π d2 / 4 =πR2
e = d / 2
I = πd4 / 64 = πR4 / 4
A：断面積（cm2）
B：幅（cm）
h：上下幅（cm）
d：円の直径（cm）
r：円の半径（cm）
e：図心からの距離（cm）
I：断面二次モーメント（cm4）
どんな場面で使われる？公式を用いた断面二次モーメントの例題
梁の断面性能の計算は断面二次モーメントと断面係数の算出がメインと言えます。断面二次モーメントで梁のたわみ具合、断面係数で梁の座屈がどれくらいになるかが算出されるためです。
そのため、梁の強度を求めるためには断面二次モーメントの公式の一覧と断面係数の一覧があれば望ましいです。
しかし、梁の断面図と断面二次モーメント、そして断面係数の公式全部を表そうとすると、非常に膨大な量になってしまいます。
そこで、ここでは断面二次モーメントの「長方形」「Ｉ形」「Ｈ形」「円」のそれぞれの断面二次モーメントの公式を挙げてみましょう。
長方形の断面二次モーメントの求め方
まずは四角い断面の部材の断面二次モーメントを計算してみましょう。
前述のように、断面二次モーメントは細分化した断面の断面積と中立軸からの距離で求めます。
さて、細分化した断面積は長方形の場合には「横×高さ」です。そのため、細分化した断面積の値は次の式で求められます。
dA＝b×dy
dA：細分化した断面積
dy：細分化した断面積の高さ
b：材料の幅
これを下図の断面二次モーメントを算出する式に当てはめ、中立軸からの距離を入れると、次の式のようになります。
そして、この式を解くと次のとおりになります。
I＝bh^3/12
として、断面二次モーメントは求められます。
H形の断面二次モーメントの求め方
次にH形について考えてみましょう。
H形は基本的に長方形の梁の断面を減算して考えます。イメージとしては次の通りです。
ですから、大きい部分の長方形から小さい部分の長方形を差し引く計算になるので、次の式で算出が可能です。
I＝（BH^3）/12－（bh^3）/12
B：H形の外形の幅
ｂ：Ｈ形の内側の幅の合計
Ｈ：H形の外形の高さ
ｈ：H形の内側の高さ
このように、Ｈ形であっても断面二次モーメントを加減することによって、基本的な計算は可能です。
ちなみに、断面二次モーメントの加算・減算は角パイプのような材料にも使えます。材料を使用するときは応用してみましょう。
円の断面二次モーメントの求め方
円は長方形と異なって「縦×横」の考え方に見えません。円周率を計算しなければいけないと思ってしまいます。
しかし、円であっても小さな面積で分けることを考えれば、円であっても長方形の集合と捉えることは可能です。前の部分で「円は中立軸から離れると面積が少ない」と述べましたが、これが円のようになるだけなのです。
ですから、計算を考えるならば、やはり積分の計算は必要です。
しかし、前述の通り、円形にはマッチした計算式があるので、
円形 ⇒ I=πd^4/64
I：断面二次モーメント
π：円周率
d：円の直径
こちらの式でまとめるのが良いでしょう。
まとめ
ここまで断面二次モーメントの公式について取り上げました。断面二次モーメントの意味や、部材のたわみ量への影響が理解できたことと思います。
また、断面二次モーメントの計算方法の難しさに辟易した人もいるかも知れません。
しかし、一般的に使用する断面性能は部材のカタログに出ていることが多いですし、仮に自分で断面の設計をする場合でも断面二次モーメントの計算に対応するCADもあります。
細かい積分計算を電卓でする必要までは無いので、安心して実務に取り掛かりましょう。
